Κύματα

Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα x’x, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα κατά τη θετική κατεύθυνση. Θεωρούμε αρχή του άξονα το σημείο Ο του ελαστικού μέσου το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει να εκτελεί αμείωτη ταλάντωση με θετική ταχύτητα. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι 5 cm, ενώ η μέγιστη επιτάχυνση των μορίων του μέσου είναι  5π²/4cm/sec². Ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται  στη θέση x =15 cm τη χρονική στιγμή t = 8 sec βρίσκεται για 2^η φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση.

Να βρείτε:

1. Το μήκος κύματος και τη ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
2. Την εξίσωση του κύματος.
3. Την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t = 34/3 sec μετά την έναρξη ταλάντωσης του σημείου Μ.
4. Για πόσο χρόνο ταλαντώνεται το σημείο Μ τη στιγμή που έχει απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του -2,5 cm και ταχύτητα θετική για πρώτη φορά.
5. Να βρείτε τα σημεία του θετικού ημιάξονα τα οποία τη χρονική στιγμή t = 6 secέχουν απομάκρυνση 2,5 cm.
6. Να παρασταθεί γραφικά η φάση του κύματος σε συνάρτηση με τις αποστάσεις των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου από την πηγή για τη χρονική στιγμή t = 15 sec.
7. Να κατασκευαστεί το διάγραμμα της απομάκρυνσης του σημείου Μ για το χρονικό διάστημα 0 έως 10 sec.
8. Να κατασκευαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 25/3 sec.
9. Να παρασταθεί γραφικά η φάση του σημείου Ν για το χρονικό διάστημα 0 έως 12sec, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Ν έχει μικρότερη φάση από το σημείο Μ κατά π/2 rad τη χρονική στιγμή t.
10. Να βρείτε τη χρονική διαφορά με την οποία αρχίζουν να ταλαντώνονται τα σημεία Μ και Ν.
11. Να υπολογισθεί η απομάκρυνση του σημείου Ν από τη θέση ισορροπίας του 4,5sec μετά την έναρξη των ταλαντώσεων του.
12. Να βρείτε πόσο απέχει από το σημείο Μ ένα σημείο Λ που είναι το τρίτο από τη αρχή κατά σειρά σημείο που βρίσκεται σε αντίθεση φάσης με το σημείο Μ.
13. Ποια είναι η απομάκρυνση του σημείου Λ από την θέση ισορροπίας του, τη στιγμή που η απομάκρυνση του Μ είναι 1 cm.
14. Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος ίδιου πλάτους με το αρχικό το οποίο όταν συμβάλλει με αυτό δημιουργεί κατά μήκος του ελαστικού μέσου στάσιμο κύμα. Να θεωρήσετε ότι και για το νέο αρμονικό κύμα στη θέση x = 0 η απομάκρυνση είναι μηδέν και η ταχύτητα θετική.
15. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργεί η συμβολή των δύο προηγούμενων κυμάτων.
16. Να βρείτε την ταχύτητα ταλάντωσης και την επιτάχυνση ενός σημείο Κ του στάσιμου κύματος που βρίσκεται στη θέση x = 30 cm τη χρονική στιγμή t₃ = 10sec.
17. Πόση είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων του στάσιμου κύματος που απέχουν μεταξύ τους 6 cm.
18. Σε ποια θέση βρίσκεται ο 11^ος δεσμός.
19. Πόση πρέπει να γίνει η περίοδος των δύο κυμάτων που συμβάλλουν ώστε την ίδια θέση να βρίσκεται τώρα ο 18^ος δεσμός.

Στην ήρεμη επιφάνεια μιας λίμνης επιπλέει ένας ξύλινος δίσκος μάζας Μ=1kg και ακτίνας R=1m.

Ο δίσκος, εξ αιτίας ενός ανεμοστρόβιλου που προηγήθηκε, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του με κυκλική συχνότητα ω₀=6rad/s.

Πάνω στον δίσκο και στα άκρα μιας διαμέτρου του κάθονται, "γαντζωμένα", δυο χελωνάκια μάζας m=0,2kg το κάθε ένα, τα οποία κάποια χρονική στιγμή ξεκινούν προς συνάντησή τους με ταχύτητες ίσου μέτρου.

Αν γνωρίζουμε ότι τα χελωνάκια ζαλίζονται και αποκοιμούνται όταν η κυκλική συχνότητα με την οποία περιστρέφονται γίνει ω=9rad/s:

Α. Να δικαιολογηθεί γιατί:

α.  η κυκλική συχνότητα μεγαλώνει καθώς πλησιάζουν τα χελωνάκια

β. τα χελωνάκια θα αποκοιμηθούν.

Β. Να βρεθούν:

α. η απόσταση από το κέντρο του δίσκου στην οποία θα βρεθεί κάθε χελωνάκι τη στιγμή που θα αποκοιμηθεί

β. η ενέργεια που δαπάνησε το κάθε ένα κατά τη μετακίνησή του.

Η ροπή αδράνειας του δίσκου δίδεται από τη σχέση: Ι_δ=ΜR²/2.

Οι τριβές που συναντά ο δίσκος κατά την κίνησή του στο νερό θεωρούνται ασήμαντες.

Τα χελωνάκια θεωρούνται υλικά σημεία. 

Πλάγια κρούση - ταλάντωση

Σώμα Μ=3 Kg εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση πλάτους x_o=0,1 m κρεμασμένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=100 Ν/m. Βλήμα μάζας m=1 κινούμενο με ταχύτητα u= 8 m/sec και με γωνία φ=30^ο κάτω από τον ορίζοντα σφηνώνεται στο σώμα. Αν δεν υπάρχουν τριβές στο κατακόρυφο τοίχωμα ποια η περίοδος και το πλάτος της νέας ταλάντωσης αν υποτεθεί ότι η κρούση γίνεται:

(1) Στην ανώτατη θέση της τροχιάς

(2) Σε απομάκρυνση +x_o/2 με θετική ταχύτητα

(3) Στη θέση ισορροπίας

Ελατήριο - διάσπαση

  Από οροφή εξαρτάται το ένα άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=100 Ν/m, το οποίο ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση. Στο ελεύθερο άκρο του κρεμάμε σώμα Α μάζας m=1 Kg το οποίο το αφήνουμε ελεύθερο  να κινηθεί.

(α) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα κάνει ταλάντωση και να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσής του.

(β) Βρείτε την δύναμη που δέχεται το σώμα από το ελατήριο συναρτήσει του χρόνου και παραστήστε την γραφικά.

(γ) Την χρονική στιγμή που το ελατήριο βρίσκεται στην μέγιστη απομάκρυνσή του το σώμα Α διασπάται ακαριαία σε δύο κομμάτια Β και Γ, με ίσες μάζες. Από αυτά το Β παραμένει δεμένο στο ελατήριο και συνεχίζει να ταλαντώνεται στην ίσια κατακόρυφη με διπλάσιο πλάτος από το αρχικό. Υπολογίστε την ενέργεια που απελευθερώθηκε από την έκρηξη.  

Ράβδος - Ελατήριο

Ομογενής ράβδος ΑΕ μήκους l=4m βάρους W₁=200 N ισορροπεί οριζόντια, συνδεδεμένη μέσω άρθρωσης Α με τον κατακόρυφο τοίχο και μέσω αβαρούς ράβδου ΓΔ με την οριζόντια οροφή, σε σημείο Γ όπου (ΑΓ)=1m. Στο άκρο Ε είναι συνδεδεμένο το πάνω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400 N/m. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου είναι συνδεδεμένο σώμα μάζας m₂=4 Kg, το οποίο συνδέεται μέσω αβαρούς τεντωμένου νήματος  ZH με το έδαφος. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί και το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά Δlo=0,2m.

1.     Να υπολογίσετε την τάση του νήματος ΖΗ και τις δυνάμεις που δέχεται η ράβδος στα σημεία στήριξης Α και Γ. 

2.     Κάποια στιγμή που τη θεωρούμε ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t=0) κόβουμε το νήμα ΖΗ οπότε το σώμα m₂ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αν θεωρήσουμε θετική φορά προς τα πάνω, να γράψετε την εξίσωση κίνησης του m₂ και να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο τη χρονική στιγμή t=T/2, όπου Τ η περίοδος, μετά την έναρξη της ταλάντωσης.

Δίνεται:  g=10m/s²

Ταλάντωση με κρόυση

Σώμα μάζας Μ=2kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και ισορροπεί. Το πάνω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ένα βλήμα μάζας m=1kg που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα υ₀=48m/s συγκρούεται με το σώμα. Ποιο είναι το πλάτος των ταλαντώσεων που θα προκύψουν από τη κρούση αν :

α) το βλήμα διαπεράσει το σώμα και εξέλθει από αυτό με ταχύτητα υ = υ₀/4 ;

β) το βλήμα σφηνωθεί στο σώμα ;  Δίνεται g=10m/s² .

Άσκηση σε κατακόρυφο ελατήριο

Το πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Στο κάτω άκρο του συνδέουμε σώμα μάζας m=2kg και αφήνουμε το σύστημα στη θέση ισορροπίας του. Από τη θέση αυτή του δίνουμε κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου υ=2m/s. Να υπολογιστούν :

α) η συχνότητα και η περίοδος των ταλαντώσεων που θα εκτελέσει το σώμα 

β) το πλάτος ταλάντωσης 

γ) η μέγιστη τιμή της δύναμης επαναφοράς και η μέγιστη δύναμη που ασκείται από το ελατήριο στο σώμα 

δ) η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης . Δίνεται g=10m/s²